「向かい合って歩くときは、速さを足すの？ 引くの？」
「先に出発した人がいると、どこから計算すればいいかわからない……」
「円形のコースになると、急に解き方がわからなくなる……」
SPIの旅人算では、このようなところで手が止まりやすいです。
中高生向けの数学指導や教材開発に携わってきた大友さんによると、文章題でつまずく人は、計算そのものができないというよりも、「どの数字を使って、何を求めればよいのか」を整理できていないケースが少なくありません。
大友さんは、中学数学から高校数学まで幅広い学習内容を扱い、学習者がどこでつまずくのかを考えながら、難しい内容を覚えやすい言葉や視覚的に理解しやすい形へ整理する教材開発に取り組んできました。
旅人算でも大切なのは、公式をたくさん暗記することではありません。
「2人の間の距離が、1分で何m縮まるのか・広がるのか」を考えることが最も重要です。
向かい合って進むなら、2人で距離を縮めます。
同じ方向に進んで追いかけるなら、速い人が遅い人との差だけ距離を縮めます。
この考え方がわかれば、「出会う」「追いつく」「円形コースで再び出会う」といった問題にも対応しやすくなります。
この記事では、旅人算の基本公式から解き方、間違えやすいポイントまで基礎から解説します。後半には初級・中級・上級に分けたオリジナル練習問題30問も用意しています。
数学に苦手意識がある人は、まず初級問題まで解ける状態を目指し、慣れてきたら中級・上級へ進んでいきましょう。
SPIの旅人算とは？
旅人算とは、2人以上の人が移動するときに、出会うまでの時間・追いつくまでの時間・移動した距離・速さなどを求める問題です。
たとえば、次のような問題です。
1,500m離れた2地点から、Aさんが分速70m、Bさんが分速80mで向かい合って同時に歩き始めました。何分後に出会いますか。
この問題で見るべきなのは、「Aさんが何m進むか」だけではありません。
Aさんは1分で70m進み、Bさんも反対側から1分で80m進みます。
つまり、2人の間の距離は、
70＋80＝150m
ずつ、毎分縮まります。
最初の距離は1,500mなので、
1,500÷150＝10分
となり、答えは10分後です。
旅人算では「それぞれの移動距離」だけでなく「2人の間の距離」を見る
初心者が旅人算で混乱しやすいのは、AさんとBさんそれぞれの移動を別々に考えすぎてしまうことです。
もちろん、
距離＝速さ×時間
を使ってそれぞれの距離を求めても解けます。
しかし、より重要なのは、
「2人の間にある距離が、1分ごとにどう変化するか」
を見ることです。
向かい合って進む場合、2人とも距離を縮めるので「速さの和」を使います。
同じ方向に進んで追いかける場合、速い人が遅い人より余分に進んだ分だけ距離が縮まるため、「速さの差」を使います。
大友さんによると、旅人算で迷ったときは「足すのか引くのか」を暗記から思い出そうとするのではなく、1分後に2人の間が何m縮まるかを実際に想像すると判断しやすくなります。
旅人算の基本公式・基本的な考え方
旅人算では、まず速度算の基本となる3つの関係を押さえておきましょう。
① 距離＝速さ×時間
たとえば、分速80mで5分歩く場合、
80×5＝400m
進みます。
先に出発した人がいる追いつき問題では、「先にどれだけ進んでいるか」を求めるときによく使います。
② 時間＝距離÷速さ
600mを分速100mで進むなら、
600÷100＝6分
です。
旅人算では、「2人の間の距離」を「2人の間が縮まる速さ」で割ると考える場面が多くあります。
③ 速さ＝距離÷時間
1,200mを15分で進んだ場合、
1,200÷15＝80m/分
です。
旅人算では、出会うまでの時間と全体の距離から、片方の速さを逆算する問題もあります。
向かい合うときは「速さの和」
Aさんが分速80m、Bさんが分速60mで向かい合って進む場合、2人の間の距離は1分で、
80＋60＝140m
縮まります。
したがって、
出会うまでの時間＝最初の距離÷2人の速さの和
です。
たとえば2,800m離れているなら、
2,800÷（80＋60）
＝2,800÷140
＝20分
となります。
追いかけるときは「速さの差」
同じ方向へ進むAさんをBさんが後ろから追いかけるとします。
Aさんが分速70m、Bさんが分速100mなら、Bさんは1分で100m進みますが、Aさんも70m進みます。
そのため、2人の距離が縮まるのは、
100－70＝30m
だけです。
したがって、
追いつくまでの時間＝最初の距離÷2人の速さの差
となります。
2人の間が600m離れているなら、
600÷（100－70）
＝600÷30
＝20分
です。
円形コースでも基本は「距離÷縮まる速さ」
円形コースでも考え方は同じです。
1周1,200mのコースを、同じ地点から2人が反対方向へ進むとします。
Aさんが分速80m、Bさんが分速70mなら、2人合わせて毎分150m進みます。
2人が初めて出会うとき、2人が進んだ距離の合計がちょうど1周分になります。
そのため、
1,200÷（80＋70）
＝8分
です。
一方、同じ地点から同じ方向へ進み、速い人が遅い人に1周差をつけたときに追いつく場合は、
1周の距離÷速さの差
で求められます。
大友さんのポイント｜「和か差か」を先に決めない
旅人算では、次の順番で考えると整理しやすくなります。
2人の位置関係を確認する
最初に何m離れているかを確認する
1分後に距離が何m変わるかを考える
「距離÷縮まる速さ」で時間を求める
最後に、誰が出発してからの時間なのか・何時何分なのかを確認する
「向かい合う＝足す」「追いかける＝引く」と覚えること自体は問題ありません。
ただし、条件が複雑になったときにも対応できるよう、最終的には「2人の間の距離がどう変わるか」を判断できる状態を目指しましょう。
旅人算を簡単に考える方法・別解
旅人算では、長い文章をそのまま式にしようとすると混乱しやすくなります。
数学が苦手な人は、次の方法で情報を整理してみてください。
2人の動きを1本の線に書く
一本道の問題なら、まず次のようなイメージを作ります。
A地点 → Aさん Bさん ← B地点
向かい合っているなら、「間の距離が両側から縮まる」とわかります。
同じ方向なら、
Aさん → Bさん →
のように書き、どちらが前にいるのかを確認します。
数秒で簡単な図を書く程度でも、足し算と引き算の取り違えを防ぎやすくなります。
「1分で何m縮む？」と自分に質問する
公式を思い出せないときは、具体的に1分後を考えましょう。
分速90mと分速70mで向かい合うなら、
「1分でAが90m、Bが70m近づく」
ので、
90＋70＝160m
縮まります。
同じ方向なら、
「速い人が90m進む間に、前の人も70m進む」
ので、
90－70＝20m
縮まります。
この方法なら、公式を忘れても考え直せます。
先に出発した人がいる場合は「追跡開始時点」にそろえる
追いつき問題では、2人のスタート時刻が違うことがあります。
その場合は、後から出発する人のスタート時点で一度場面を止めましょう。
たとえばAさんが分速60mで10分先に出発しているなら、
60×10＝600m
先に進んでいます。
ここから、
600÷（追う人の速さ－60）
とすればよいわけです。
文章全体を一度に式へ変える必要はありません。
円形コースは「切って直線にする」
円形コースが苦手な人は、輪のまま考えなくても構いません。
1周1,500mのコースを切って、長さ1,500mの直線として考えてみましょう。
反対方向へ進む2人が出会うときは、2人が合わせて1周分進んでいます。
同じ方向なら、速い人が遅い人より1周分多く進んだときに追いつきます。
円を直線に置き換えるだけで、通常の出会い・追いつきと同じ考え方になります。
速さの比から移動距離の比を考える方法もある
2人が同じ時間だけ移動して出会った場合、移動した距離の比は速さの比と同じです。
Aが分速90m、Bが分速60mなら、
90：60＝3：2
です。
したがって、出会う地点までにAが進む距離とBが進む距離も3：2になります。
全体が2,500mなら、
A：2,500×3/5＝1,500m
B：2,500×2/5＝1,000m
と求められます。
出会う位置を聞かれた問題では、この考え方が便利です。
SPIで旅人算はどれくらい出る？
SPIでは速度・距離・時間を扱う問題に対応できるようにしておく必要があり、旅人算もその考え方を使う問題の一つです。
ただし、旅人算だけについて「何問出る」「何回に1回出る」といった具体的な出題頻度を断定するのは避けたほうがよいでしょう。
受検方式や実際に提示される問題によっても内容は変わり得ます。
そのため、旅人算だけに長時間をかける必要はありませんが、
向かい合うときは速さの和を考えられる
追いつくときは速さの差を考えられる
先に進んだ距離を計算できる
km・m、時間・分をそろえられる
円形コースの基本問題を解ける
程度までは準備しておくとよいでしょう。
特に旅人算は、考え方がわかれば速度算の基本公式をそのまま使えるため、基本問題から練習しておく価値があります。
SPIの旅人算の解き方
旅人算では、問題文を読んですぐ計算を始めるより、次の順番で整理するとミスを減らせます。
誰がどこから、どちら向きへ進むのか確認する
2人が同時に動き始める時点の距離を求める
向かい合うのか、同じ方向なのかを確認する
1分あたりに2人の距離が何m縮むか求める
距離÷縮まる速さで時間を求める
必要なら移動距離や時刻に直す
最後に「誰の出発から何分後か」を確認する
コツ① まず矢印を書いて進行方向を確認する
「A地点からB地点へ」「B地点からA地点へ」と文章だけで読むと、方向を取り違えることがあります。
向かい合うなら、
A → ← B
同じ方向なら、
A → B →
のように書きましょう。
足すのか引くのかを判断しやすくなります。
コツ② 先に出発した人がいれば、先行距離を最初に求める
Aさんが分速70mで12分早く出たなら、
70×12＝840m
です。
後から出る人がスタートした時点で、2人の間は840m離れています。
ここから追いつき算を始めます。
先に出た12分と、追跡が始まってからの時間を最初から混ぜないことがポイントです。
コツ③ 「出会う＝足す」ではなく距離の変化を確認する
基本問題なら向かい合うときは速さを足します。
ただし、複雑な問題では途中で方向転換したり、休憩したりすることもあります。
そのため、条件が変わったら、
「今この瞬間、2人は同じ方向か、反対方向か」
を改めて確認しましょう。
コツ④ 単位を先にそろえる
4kmと分速100mをそのまま、
4÷100
としてはいけません。
4km＝4,000m
に直して、
4,000÷100
とします。
時速と分を組み合わせる場合も同様です。
たとえば時速12kmなら、
12km÷60分＝0.2km/分
または、
12,000m÷60分＝200m/分
です。
コツ⑤ 円形コースでは「何m差をつければ出会うか」を考える
同じ地点から同じ方向へ進む場合、速い人が遅い人に再び追いつくには、1周分の差をつける必要があります。
反対方向なら、2人が合わせて1周分進むと出会います。
ただし、最初から別の地点にいる場合は、必ずしも1周全部が必要とは限りません。
最初の2人の間の距離を確認しましょう。
コツ⑥ 最後に「時間」か「時刻」かを確認する
計算で12分と出ても、問題が「何時何分に出会うか」を聞いているなら、それだけでは答えになりません。
8時15分から12分後なら、
8時27分
です。
SPIでは計算が合っていても、最後の問いを読み違えると正答できません。
SPIの旅人算でよくある間違いパターン
① 向かい合っているのに速さを引いてしまう
分速80mと分速60mで向かい合うなら、距離は毎分、
80＋60＝140m
縮まります。
「速さの差」という言葉を覚えているからといって、何でも引き算にしないよう注意しましょう。
② 追いつき問題で速さを足してしまう
分速100mの人が、前を分速70mで進む人を追う場合、毎分縮まる距離は、
100－70＝30m
です。
2人とも同じ方向へ進んでいるので、前の人が進んだ分は追う人にとって相殺されます。
③ 先に出発した時間をそのまま答えに足す・足さない
「Bさんが出発してから何分後か」と聞かれているのか、「Aさんが出発してから何分後か」で答えが変わります。
計算で追跡時間が20分と出ても、Aが10分早く出ていて、「Aの出発から」を聞かれているなら30分です。
④ kmとm、時間と分を混ぜて計算する
2.4kmと分速80mが出てきたら、
2.4km＝2,400m
に直します。
単位が違う状態では、正しい公式を使っても正答になりません。
⑤ 円形コースだから毎回1周分を使うと思い込む
同じ地点からスタートする基本問題では1周分を使うことが多いですが、2人が最初から離れた場所にいる場合は違います。
たとえば1周1,800mのコースで正反対の位置にいるなら、2人の間は900mです。
どちらがどちらを追うかによって、最初に縮めるべき距離を判断する必要があります。
⑥ 出会った後も同じ位置にいると思ってしまう
2人が出会っても、問題文に「止まる」と書かれていなければ、その後も進み続けることがあります。
「出会ってから10分後の距離」などを聞かれた場合は、出会った地点を新しいスタート地点として考え直しましょう。
大友さんも、間違えたときは「計算方法を知らなかった」のか、「条件を読み違えた」のかを分けて振り返ることが大切だとしています。
旅人算では、式そのものより文章の読み取りが原因で間違えるケースも多いためです。
【難易度別】SPI【旅人算】の例題30問
ここからは、旅人算のオリジナル練習問題を30問解いていきます。
最初から上級問題へ進む必要はありません。
初級で「和と差」を使い分けられるようになったら、中級、上級と進んでください。
【初級】SPI【旅人算】の例題10問
問題1
1,800m離れた2地点から、Aさんは分速70m、Bさんは分速80mで向かい合って同時に歩き始めました。2人が出会うのは何分後ですか。
A. 10分後
B. 12分後
C. 15分後
D. 18分後
答え：B. 12分後
向かい合って進むため、2人の間の距離は速さの和で縮まります。
70＋80＝150m/分
したがって、
1,800÷150＝12分
です。
よって、12分後に出会います。
問題2
Aさんは分速60mで駅に向かって歩き始めました。その8分後、Bさんが同じ地点から分速100mでAさんを追いかけました。Bさんが出発してから何分後に追いつきますか。
A. 8分後
B. 10分後
C. 12分後
D. 16分後
答え：C. 12分後
Bさんが出発するとき、Aさんは、
60×8＝480m
先にいます。
2人の速さの差は、
100－60＝40m/分
です。
したがって、
480÷40＝12分
となります。
問題3
2.4km離れた2地点から、Aさんが分速90m、Bさんが分速70mで同時に向かい合って出発しました。何分後に出会いますか。
A. 12分後
B. 15分後
C. 18分後
D. 20分後
答え：B. 15分後
まず2.4kmをmに直します。
2.4km＝2,400m
2人の速さの和は、
90＋70＝160m/分
です。
2,400÷160＝15分
となります。
問題4
2,100m離れた2地点から、AさんとBさんが向かい合って同時に出発し、14分後に出会いました。Aさんの速さは分速80mです。Bさんの速さは分速何mですか。
A. 60m
B. 70m
C. 75m
D. 80m
答え：B. 70m
2人が合わせて1分間に進む距離は、
2,100÷14＝150m
です。
これは2人の速さの和です。
したがって、
150－80＝70m/分
となります。
問題5
AさんはBさんの500m後ろを分速120mで進んでいます。Bさんは同じ方向へ分速70mで進んでいます。Aさんは何分後にBさんに追いつきますか。
A. 8分後
B. 10分後
C. 12.5分後
D. 15分後
答え：B. 10分後
同じ方向なので速さの差を使います。
120－70＝50m/分
毎分50mずつ500mの差を縮めるため、
500÷50＝10分
です。
問題6
1周1,200mのコースを、AさんとBさんが同じ地点から反対方向へ同時に走り始めました。Aさんは分速100m、Bさんは分速50mです。初めて出会うのは何分後ですか。
A. 6分後
B. 8分後
C. 10分後
D. 12分後
答え：B. 8分後
反対方向へ進むため、2人が進んだ距離の合計が1周分になったとき出会います。
速さの和は、
100＋50＝150m/分
です。
1,200÷150＝8分
となります。
問題7
1周900mのコースを、Aさんが分速120m、Bさんが分速75mで同じ地点から同じ方向へ同時に出発しました。Aさんが初めてBさんに追いつくのは何分後ですか。
A. 15分後
B. 18分後
C. 20分後
D. 24分後
答え：C. 20分後
同じ方向なので速さの差を使います。
120－75＝45m/分
AさんがBさんに追いつくには、1周分の900mの差をつける必要があります。
900÷45＝20分
です。
問題8
2,400m離れた2地点から、Aさんが分速90m、Bさんが分速60mで向かい合って同時に出発しました。2人が出会う地点は、中間地点からBさんの出発地点側へ何m離れていますか。
A. 120m
B. 180m
C. 240m
D. 300m
答え：C. 240m
出会うまでの時間は、
2,400÷（90＋60）
＝2,400÷150
＝16分
です。
Aさんが進んだ距離は、
90×16＝1,440m
です。
中間地点はAさんの出発地点から、
2,400÷2＝1,200m
なので、
1,440－1,200＝240m
となります。
問題9
Aさんは8時10分に西側の地点を分速80mで出発しました。西側の地点から2,560m離れた東側の地点を、Bさんが8時15分に分速100mで出発し、Aさんへ向かって進みました。2人が出会う時刻は何時何分ですか。
A. 8時25分
B. 8時27分
C. 8時30分
D. 8時32分
答え：B. 8時27分
8時15分までの5分間に、Aさんは、
80×5＝400m
進んでいます。
残りの距離は、
2,560－400＝2,160m
です。
8時15分以降は2人が向かい合うため、
80＋100＝180m/分
で距離が縮みます。
2,160÷180＝12分
なので、
8時15分＋12分＝8時27分
です。
問題10
3,000m離れた2地点から、Aさんが分速80m、Bさんが分速70mで向かい合って同時に出発しました。12分後、2人の間は何m離れていますか。
A. 900m
B. 1,200m
C. 1,500m
D. 1,800m
答え：B. 1,200m
2人の速さの和は、
80＋70＝150m/分
です。
12分間で縮まる距離は、
150×12＝1,800m
です。
したがって残りは、
3,000－1,800＝1,200m
となります。
【中級】SPI【旅人算】の例題10問
問題11
4.2km離れた2地点から、Aさんが時速12km、Bさんが時速9kmで向かい合って同時に出発しました。何分後に出会いますか。
A. 10分後
B. 12分後
C. 15分後
D. 18分後
答え：B. 12分後
2人の速さの和は、
12＋9＝21km/時
です。
出会うまでの時間は、
4.2÷21＝0.2時間
です。
1時間＝60分なので、
0.2×60＝12分
となります。
問題12
Aさんが時速4.8kmで歩き始めました。15分後、同じ地点からBさんが時速12kmの自転車で追いかけました。Bさんが出発してから何分後に追いつきますか。
A. 8分後
B. 10分後
C. 12分後
D. 15分後
答え：B. 10分後
15分は、
15÷60＝0.25時間
です。
Aさんが先に進んだ距離は、
4.8×0.25＝1.2km
です。
2人の速さの差は、
12－4.8＝7.2km/時
なので、
1.2÷7.2＝1/6時間
です。
1/6時間＝10分なので、答えは10分後です。
問題13
3.6km離れた2地点があります。Aさんが分速90mで出発し、その10分後に反対側からBさんが分速60mでAさんに向かって出発しました。Aさんの出発から何分後に2人は出会いますか。
A. 24分後
B. 26分後
C. 28分後
D. 30分後
答え：C. 28分後
3.6km＝3,600mです。
Bさんが出発するまでにAさんは、
90×10＝900m
進みます。
残りは、
3,600－900＝2,700m
です。
その後は、
90＋60＝150m/分
で距離が縮みます。
2,700÷150＝18分
Bさんが出発するまでの10分を加えると、
10＋18＝28分
です。
問題14
AさんとBさんが向かい合って同時に出発しました。Aさんは分速90m、Bさんは分速60mです。出会ったとき、Aさんが進んだ距離はBさんより600m長かったとします。2地点間の距離は何mですか。
A. 2,400m
B. 2,700m
C. 3,000m
D. 3,300m
答え：C. 3,000m
2人は同じ時間だけ移動しています。
1分あたりの移動距離の差は、
90－60＝30m
です。
差が600mになるまでの時間は、
600÷30＝20分
です。
2人が20分で進んだ距離の合計は、
（90＋60）×20
＝150×20
＝3,000m
となります。
問題15
A地点からAさんが分速80m、B地点からBさんが分速60mで向かい合って同時に出発しました。2人は道の中間地点よりB地点側へ300m進んだ地点で出会いました。A地点とB地点の距離は何mですか。
A. 3,600m
B. 3,900m
C. 4,200m
D. 4,500m
答え：C. 4,200m
出会う地点は中間地点から300mずれているため、2人が進んだ距離の差は、
300×2＝600m
です。
速さの差は、
80－60＝20m/分
なので、
600÷20＝30分
移動したことになります。
したがって全体の距離は、
（80＋60）×30
＝140×30
＝4,200m
です。
問題16
Aさんは分速70mで出発しました。その18分後にBさんが同じ地点から分速100mで追いかけました。Bさんが出発してから何分後に追いつきますか。
A. 36分後
B. 40分後
C. 42分後
D. 45分後
答え：C. 42分後
Bさんが出発するとき、Aさんは、
70×18＝1,260m
先にいます。
速さの差は、
100－70＝30m/分
です。
したがって、
1,260÷30＝42分
となります。
問題17
1周1,500mのコースを、Aさんが分速110m、Bさんが分速90mで同じ地点から反対方向へ同時に出発しました。2人が2回目に出会うのは何分後ですか。
A. 10分後
B. 12分後
C. 15分後
D. 18分後
答え：C. 15分後
2人の速さの和は、
110＋90＝200m/分
です。
1回出会うごとに、2人が進んだ距離の合計は1周分増えます。
1回目は、
1,500÷200＝7.5分
です。
2回目は2周分なので、
1,500×2÷200
＝3,000÷200
＝15分
となります。
問題18
円形コースを1周するのにAさんは10分、Bさんは15分かかります。2人が同じ地点から同じ方向へ同時に出発すると、Aさんが初めてBさんに追いつくのは何分後ですか。
A. 20分後
B. 24分後
C. 30分後
D. 36分後
答え：C. 30分後
コース1周の長さを仮に30と考えます。
Aさんの速さは、
30÷10＝3
Bさんの速さは、
30÷15＝2
です。
速さの差は1なので、AさんがBさんに1周分の30の差をつけるには、
30÷1＝30分
かかります。
実際のコースの長さがわからなくても、1周にかかる時間から計算できます。
問題19
AさんとBさんは向かい合って進み、ある地点で出会いました。Aさんは分速75m、Bさんは分速65mで、その後も同じ速さでそれぞれ元の進行方向へ進み続けました。出会ってから6分後、2人は何m離れていますか。
A. 720m
B. 780m
C. 840m
D. 900m
答え：C. 840m
出会った後は2人が反対方向へ離れていきます。
1分で広がる距離は、
75＋65＝140m
です。
6分後なので、
140×6＝840m
となります。
問題20
1周1,800mの円形コースがあります。Aさんは10時00分にある地点から分速90mで時計回りに出発しました。5分後の10時05分、Bさんが同じ地点から分速110mで反時計回りに出発しました。2人が初めて出会うのは何時何分何秒ですか。
A. 10時10分45秒
B. 10時11分45秒
C. 10時12分15秒
D. 10時13分00秒
答え：B. 10時11分45秒
10時05分までにAさんは、
90×5＝450m
進んでいます。
Bさんが出発した時点から考えると、2人が出会うまでに新たに埋めるべき距離は、
1,800－450＝1,350m
です。
2人は反対方向へ進むため、
90＋110＝200m/分
で距離が縮まります。
1,350÷200＝6.75分
0.75分は、
60×0.75＝45秒
なので6分45秒です。
10時05分から6分45秒後なので、
10時11分45秒
となります。
【上級】SPI【旅人算】の例題10問
問題21
Aさんは9時00分に分速60mで出発しました。Bさんは9時10分に同じ地点から分速90mで追いかけました。さらに9時15分になると、Aさんは歩く速さを分速75mに上げました。Bさんが出発してから何分後にAさんへ追いつきますか。
A. 30分後
B. 35分後
C. 40分後
D. 45分後
答え：B. 35分後
9時10分の時点でAさんは、
60×10＝600m
先にいます。
9時10分から9時15分までの5分間は、速さの差が、
90－60＝30m/分
なので、
30×5＝150m
差が縮まります。
残りは、
600－150＝450m
です。
9時15分以降、Aさんは分速75mになるので速さの差は、
90－75＝15m/分
です。
450÷15＝30分
かかります。
Bさんが出発して最初の5分と合わせて、
5＋30＝35分
となります。
問題22
3,180m離れた2地点があります。Aさんは9時00分に西側から分速80mで出発しました。Bさんは9時06分に東側から分速100mでAさんに向かって出発しました。2人が出会う時刻はいつですか。
A. 9時18分
B. 9時20分
C. 9時21分
D. 9時24分
答え：C. 9時21分
Bさんが出発するまでの6分間にAさんは、
80×6＝480m
進みます。
残りは、
3,180－480＝2,700m
です。
9時06分以降、距離は、
80＋100＝180m/分
で縮まります。
2,700÷180＝15分
なので、
9時06分＋15分＝9時21分
です。
問題23
1周1,600mのコースを、Aさんが分速100mで走り始めました。その4分後、Bさんが同じ地点から同じ方向へ分速140mで走り始めました。Aさんが出発してから何分後にBさんはAさんへ追いつきますか。
A. 10分後
B. 12分後
C. 14分後
D. 16分後
答え：C. 14分後
Bさんが出発するまでにAさんは、
100×4＝400m
進んでいます。
BさんとAさんの速さの差は、
140－100＝40m/分
です。
400mの差を縮めるには、
400÷40＝10分
かかります。
Aさんが先に走った4分を加えると、
4＋10＝14分
です。
この問題では、Bさんが追いつくまでに1周分の差をつける必要はありません。最初からAさんが400m先にいるため、その400mを縮めれば追いつきます。
問題24
1周1,800mの円形コースで、AさんとBさんは正反対の地点にいます。2人は同じ方向へ同時に出発し、Aさんは分速100m、Aさんの900m前方にいるBさんは分速80mで進みます。AさんがBさんに初めて追いつくのは何分後ですか。
A. 36分後
B. 40分後
C. 45分後
D. 50分後
答え：C. 45分後
2人は正反対の地点から出発するため、最初の距離は、
1,800÷2＝900m
です。
同じ方向へ進むので、距離が縮まる速さは、
100－80＝20m/分
です。
したがって、
900÷20＝45分
となります。
円形コースでも、最初から離れている場合は「1周÷速さの差」とは限らない点がポイントです。
問題25
西町と東町は4.8km離れています。西町からAさんが分速100m、東町からBさんが分速60mで向かい合って同時に出発しました。2人は出会った後もそのまま進み続けます。Aさんが東町に到着したとき、Bさんは西町から何km離れた地点にいますか。
A. 1.68km
B. 1.80km
C. 1.92km
D. 2.04km
答え：C. 1.92km
4.8km＝4,800mです。
2人が出会うまでの時間は、
4,800÷（100＋60）
＝4,800÷160
＝30分
です。
Aさんは30分で、
100×30＝3,000m
進んでいます。
東町までは残り、
4,800－3,000＝1,800m
です。
Aさんが東町へ着くまでにかかる時間は、
1,800÷100＝18分
です。
その18分間にBさんは西町方向へ、
60×18＝1,080m
進みます。
出会った地点は西町から3,000mの地点だったので、
3,000－1,080＝1,920m
です。
1,920m＝1.92kmとなります。
問題26
3,900m離れた2地点から、Aさんが分速120m、Bさんが分速60mで向かい合って同時に出発しました。Aさんは出発して10分後に5分間休憩し、その後は再び分速120mで進みました。Bさんは休まず進み続けます。2人が出会うのは出発から何分後ですか。
A. 20分後
B. 23分後
C. 25分後
D. 28分後
答え：C. 25分後
最初の10分間は2人とも動いています。
縮まる距離は、
（120＋60）×10
＝180×10
＝1,800m
です。
残りは、
3,900－1,800＝2,100m
です。
次の5分間はAさんが休んでいるため、Bさんだけが進みます。
60×5＝300m
縮まるので、残りは、
2,100－300＝1,800m
です。
Aさんが再び動き始めると、
120＋60＝180m/分
で縮まります。
1,800÷180＝10分
です。
合計は、
10＋5＋10＝25分
となります。
問題27
Aさんは8時00分に分速60mで出発しました。Bさんは8時10分に同じ地点から同じ方向へ分速80mで出発し、Cさんは8時20分に同じ地点から分速120mで出発しました。3人が初めて同じ地点にそろうのは何時何分ですか。
A. 8時35分
B. 8時38分
C. 8時40分
D. 8時45分
答え：C. 8時40分
8時20分時点で、
Aさんは20分進んでいるので、
60×20＝1,200m
Bさんは10分進んでいるので、
80×10＝800m
です。
CさんがBさんへ追いつく速さの差は、
120－80＝40m/分
です。
Bさんとの800mの差を縮めるには、
800÷40＝20分
かかります。
したがって8時40分です。
そのときの位置を確認すると、
A：60×40＝2,400m
B：80×30＝2,400m
C：120×20＝2,400m
となり、3人が同じ地点にそろいます。
問題28
2,400m離れた2地点から、Aさんが分速120m、Bさんが分速60mで向かい合って同時に出発しました。5分後、Bさんは忘れ物に気づき、その場で方向を変えて元の出発地点へ戻り始めました。速さは分速60mのままです。AさんがBさんに追いつくのは、最初の出発から何分後ですか。
A. 25分後
B. 30分後
C. 35分後
D. 40分後
答え：B. 30分後
最初の5分間でAさんは、
120×5＝600m
進みます。
Bさんは、
60×5＝300m
進んでいるため、Aさんの出発地点から見ると、
2,400－300＝2,100m
の地点にいます。
したがって5分後の2人の距離は、
2,100－600＝1,500m
です。
ここからBさんはAさんと同じ方向へ進みます。
速さの差は、
120－60＝60m/分
です。
追いつくまで、
1,500÷60＝25分
かかります。
最初の5分を加えて、
5＋25＝30分
となります。
問題29
1周1,800mの円形コースで、AさんとBさんは正反対の地点から同時に出発します。Aさんは分速90m、Bさんは分速110mで、互いに近づく向きに走り始め、そのまま同じ方向へ走り続けます。2人が3回目に出会うのは何分何秒後ですか。
A. 13分30秒後
B. 18分00秒後
C. 22分30秒後
D. 27分00秒後
答え：C. 22分30秒後
最初は正反対の位置にいるため、2人の間は、
1,800÷2＝900m
です。
2人の速さの和は、
90＋110＝200m/分
なので、1回目に出会うまで、
900÷200＝4.5分
かかります。
4.5分＝4分30秒です。
一度出会った後、次に出会うためには2人が合わせてさらに1周分の1,800mを進む必要があります。
その間隔は、
1,800÷200＝9分
です。
3回目は、1回目のあと9分を2回分加えるので、
4.5＋9＋9＝22.5分
です。
0.5分＝30秒なので、
22分30秒後
となります。
問題30
AさんとBさんが2,700m離れた地点から向かい合って歩くと、15分後に出会います。また、同じ2人が同じ方向へ歩き、速いAさんが遅いBさんの900m後方から出発すると、30分後にAさんがBさんへ追いつきます。Aさんの速さは分速何mですか。
A. 90m
B. 100m
C. 105m
D. 120m
答え：C. 105m
向かい合った場合、2人の速さの和は、
2,700÷15＝180m/分
です。
次に、900mの差を30分で縮めているので、2人の速さの差は、
900÷30＝30m/分
です。
Aさんの速さをA、Bさんの速さをBとすると、
A＋B＝180
A－B＝30
です。
2つの式を足すと、
2A＝210
なので、
A＝105m/分
となります。
「向かい合う問題から速さの和」「追いつき問題から速さの差」を求め、それらを組み合わせる問題です。
SPIの【旅人算】を効率よく練習する方法
旅人算の公式を一度読んだだけでは、本番で素早く使えるとは限りません。
理解した後は、問題演習を通じて「問題文を読んだら何を計算するか」が自然に浮かぶ状態を目指しましょう。
まずはSPIの対策本を1冊解く
SPI全体を扱う対策本や問題集を1冊用意し、速度算・旅人算を含めて繰り返し解く方法がおすすめです。
何冊も買って1周ずつするよりも、
一度間違えた問題を、次は解説なしで自力で解けるようにする
ことを重視しましょう。
最初は式を作るまで時間がかかっても問題ありません。
同じタイプを繰り返すうちに、
「向かい合っているから速さの和」
「後から追うから、まず先行距離」
と判断しやすくなります。
間違えた原因を整理する
旅人算では、不正解だった問題に「×」をつけるだけでは十分ではありません。
なぜ間違えたのかまで確認しましょう。
特に次のように分類すると復習しやすくなります。
向かい合うのに速さを引いた
追いつくのに速さを足した
先に出発した人の先行距離を求め忘れた
「誰が出発してから何分後か」を読み違えた
kmとmをそろえ忘れた
時間と分をそろえ忘れた
円形コースで最初の距離を取り違えた
途中の休憩・速度変更・方向転換を見落とした
大友さんによると、復習するときは「なぜ間違えたか」に加えて、
「次に同じタイプが出たら、最初に何を確認するか」
を自分の言葉で整理することが重要です。
たとえば、
「追いつき問題では、後から出る人がスタートした瞬間の距離を先に出す」
と一言メモしておくだけでも、次回の再現性が高くなります。
問題集の解説がわからないなら内定くんのWebテスト対策AIを活用しよう
問題集を解いていると、
「答えは載っているけれど、なぜ速さを足すのかわからない」
「途中式が省略されていて理解できない」
「なぜ最初にこの距離を求めるの？」
と感じる問題も出てきます。
そのようなときは、問題集での学習を補助する方法として、内定くんのWebテスト対策AIを活用するのも一つの方法です。
重要なのは、答えだけを確認して終わらせないことです。
たとえば、
なぜこの問題では速さを足すのか
なぜ先に600mを求めるのか
どの時点の2人の距離を考えているのか
自分の式のどこが間違っているのか
といった、自分がつまずいた部分を確認してみましょう。
AIは問題集や自力学習の代わりではなく、「解説を読んでも理解できない部分をもう一段かみ砕いて確認するための補助」として使うのがおすすめです。
最終的には、同じ考え方の問題が出たときに、自分一人で式を作れる状態を目指しましょう。
タイマーを使って時間を意識する
SPIでは限られた時間の中で問題を処理する必要があります。
ただし、旅人算を勉強し始めた段階からスピードだけを追い求めると、足し算と引き算を感覚で選ぶ癖がついてしまうことがあります。
まず正確性、その後スピードの順番で練習しましょう。
STEP1：時間を気にせず正確に解く
最初はタイマーを使わなくても構いません。
誰がどちらへ進むか
最初の距離はいくつか
1分で何m縮むか
何を聞かれているか
を丁寧に確認してください。
途中式も省略せず書きましょう。
STEP2：時間を決めて解く
自力で正解できる問題が増えてきたら、タイマーを使います。
ここでは「絶対に何秒以内」と決めるのではなく、自分が1問にどの程度時間を使っているかを把握することから始めます。
何度も解いた基本問題であれば、少しずつ時間を短くしてみましょう。
STEP3：正確性を保ったままスピードを上げる
最終的には、文章を読んですぐに、
「向かい合うから和」
「10分早く出ているから先行距離を出す」
「kmをmへ変換する」
と判断できる状態を目指します。
計算そのものを急ぐよりも、必要な式を作るまでの迷いを減らすことが重要です。
難しい【旅人算】に時間を使いすぎない
旅人算では、条件が増えるほど情報整理に時間がかかります。
特に、
途中で速さが変わる
休憩する
方向転換する
円形コースで複数回出会う
3人以上が移動する
といった問題では、一度で式が見えないこともあります。
本番で「もう少し考えればわかりそう」と1問に長く粘ると、その後にある解きやすい問題へ使える時間が減る可能性があります。
練習するときから、
「一定時間考えても、最初に何を求めるのか見えない場合はいったん次へ進む」
という判断も練習しておきましょう。
旅人算のすべての難問を解けることよりも、基本問題や自分が解ける問題を落とさないことが重要です。
SPIの旅人算を解くときのチェックリスト
① 2人の進む方向を確認したか
向かい合うのか、同じ方向なのかを最初に確認しましょう。
簡単な矢印を書くと判断しやすくなります。
② 2人が同時に動き始める時点の距離を確認したか
出発時刻が違う場合、後から出発する人が動き始めた時点で何m離れているかを求めます。
先行時間×先に出た人の速さ
を忘れないようにしましょう。
③ 1分で何m縮まるかを確認したか
向かい合うなら速さの和、同じ方向の追いつきなら速さの差になるのが基本です。
暗記だけでなく、実際に1分後を考えて判断してください。
④ 距離・速さ・時間の単位をそろえたか
kmとm、時間と分、分と秒などが混ざっていないか確認しましょう。
⑤ 条件が途中で変わっていないか
休憩、速度変更、方向転換などがあれば、そこで計算を区切ります。
条件変更の前後を同じ式で処理しないようにしてください。
⑥ 円形コースで必要な距離を確認したか
必ず1周分を使うとは限りません。
最初から正反対にいる場合などは、最初の距離が半周分になることもあります。
⑦ 「誰の出発から何分後か」を確認したか
Aが先に出発し、Bが後から追いかける問題では特に注意が必要です。
Bが出発してからの時間なのか、Aが出発してからの時間なのかを最後に確認します。
⑧ 「何分後」なのか「何時何分」なのかを確認したか
12分後と計算できても、時刻を聞かれている場合は出発時刻へ足す必要があります。
⑨ 最後に求められているものを確認したか
時間を求める途中で距離を計算することがあります。
途中で出た数字をそのまま答えにせず、「何を求めよ」と書かれていたかを見直しましょう。
まとめ｜SPIの旅人算のコツをつかんで高得点を狙おう
SPIの旅人算で最初に考えてほしいのは、
「2人の間の距離が、1分で何m縮まるのか」
です。
向かい合っていれば、基本的に2人の速さを足します。
同じ方向に進んで追いつくなら、速さの差を使います。
先に出発した人がいるなら、後から出る人がスタートした時点までに何m進んだかを先に求めましょう。
円形コースでも考え方は同じで、「何mの差を縮めれば出会う・追いつくのか」を整理することがポイントです。
大友さんも、公式を丸暗記するだけでなく、「2人の距離がどう変化しているか」という仕組みを理解しておくことが、初めて見る問題への対応につながると考えています。
まずはこの記事の初級問題で基本を身につけ、中級・上級へ進んでみてください。
その後はSPIの問題集を1冊繰り返し、
一度間違えた問題を解き直す
間違えた理由を整理する
解説がわからない部分はAIなども補助的に活用する
自力で解けるようになったらタイマーを使う
正確性を保ったまま解答スピードを上げる
という順番で仕上げていきましょう。
旅人算は、長い文章を一気に式へ変える必要はありません。
「最初の距離は？」
「1分で何m縮む？」
「距離÷縮まる速さは？」
と順番に整理すれば、複雑に見える問題でも考えやすくなります。
SPIの【旅人算】のコツをつかみ、非言語分野での高得点を狙いましょう。
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